Ис­ко­мая фи­гу­ра вра­ще­ния со­сто­ит из двух ко­ну­сов, ее объём: Ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна Вы­со­та, про­ве­ден­ная из пря­мо­го угла, яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом ко­ну­сов и равна: По­это­му:

Тогда

Ответ: 84.

Объём ко­ну­са равен по­это­му

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

От­но­ше­ние объ­е­мов по­доб­ных тел равно кубу ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­но­ше­нию высот, по­это­му: от­ку­да

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Най­дем длину ка­те­тов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем Пло­щадь тре­уголь­ни­ка, с одной сто­ро­ны, равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов, а с дру­гой  — по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния вы­со­ты на сто­ро­ну, к ко­то­рой про­ве­де­на вы­со­та. Имеем:

Так как на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

При вра­ще­нии тре­уголь­ни­ка во­круг пря­мой AK об­ра­зу­ет­ся усе­чен­ный конус c ра­ди­у­сом BK  =  AH, ра­ди­у­сом AC и вы­со­той BH, с вы­ре­зан­ным ко­ну­сом ра­ди­у­са BK и вы­со­той BH. Най­дем объем дан­но­го тела:

Ответ: 110.

Если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен то вы­со­та ци­лин­дра равна Най­дем объем ци­лин­дра:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Пусть O₁O₂  =  x, а угол ASO₂ равен α. Тогда: Вы­ра­зим объем воды, на­ли­той в бокал:

Вы­ра­зим раз­ность объ­е­мов и най­дем от­ре­зок SO₂, рав­ный x + 4. Так как по­лу­ча­ем, что Имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле по усло­вию а Тогда

Най­дем объём:

Тогда

Ответ: 225.

Про­дол­жим бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции ABCD до пе­ре­се­че­ния в точке S, тогда тре­уголь­ни­ки ASD и BSC рав­но­сто­рон­ние (у них углы при сто­ро­нах AD и BC по 60°). Опу­стим вы­со­ты AH и BT в этих тре­уголь­ни­ках. Тогда тело, по­лу­ча­е­мое при вра­ще­нии тре­уголь­ни­ка ASD во­круг пря­мой SD это объ­еди­не­ние двух ко­ну­сов с вы­со­та­ми SH и HD и ос­но­ва­ни­ем  — кру­гом ра­ди­у­са HA с цен­тром в точке H. Ана­ло­гич­но при вра­ще­нии тре­уголь­ни­ка BSC во­круг сто­ро­ны SC тоже по­лу­ча­ют­ся два ко­ну­са с вы­со­та­ми ST и CT и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния BT. Зна­чит, по­лу­ча­е­мое при вра­ще­нии тра­пе­ции тело  — ре­зуль­тат уда­ле­ния вто­рых двух ко­ну­сов из пер­вых двух, а найти объем можно как раз­ность объ­е­мов таких удво­ен­ных ко­ну­сов.

Пусть сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна x, тогда его вы­со­та равна и по­то­му объем двух таких ко­ну­сов равен

Зна­чит, объем тела равен

по­это­му

Ответ: 79.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. От­ре­зок O₁H₁  — пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из точки O₁ к плос­ко­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей ци­линдр, его длина равна рас­сто­я­нию от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния. Тре­уголь­ник BO₁C  — рав­но­бед­рен­ный, так как O₁B и O₁C  — ра­ди­у­сы окруж­но­сти. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₁H₁C:

Так как в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BO₁C O₁H₁  — вы­со­та, она яв­ля­ет­ся и ме­ди­а­ной, сле­до­ва­тель­но, BC  =  2H₁C  =  24. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD равна 120, тогда что равно вы­со­те h ци­лин­дра. Най­дем объем ци­лин­дра:

Зна­че­ние вы­ра­же­ния равно 1280.

Ответ: 1280.

Най­дем ра­ди­ус круга по тео­ре­ме си­ну­сов:

Ра­ди­ус боль­шо­го круга шара равен ра­ди­у­су шара. Най­дем объем шара:

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ответ: 96.

Пусть O  — центр шара. Про­ве­дем OH  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Тре­уголь­ни­ки AOH, BOH, COH равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту, по­это­му от­рез­ки AH, CH, BH равны и яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти с цен­тром в точке H. ПО тео­ре­ме о сумме углов в тре­уголь­ни­ке: По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC:

Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AHO:

Вы­чис­лим объем шара:

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

Ответ: 448.